Le cours expose la th茅orie de Galois, du classique crit猫re de non-r茅solubilit茅 des 茅quations polynomiales aux m茅thodes plus avanc茅es de calcul de groupes de Galois par r茅duction modulo un nombre premier.
Le th猫me g茅n茅ral de cette th茅orie est l'茅tude des racines d'un polyn么me et concerne en particulier la possibilit茅 de les exprimer 脿 partir des coefficients de ce polyn么me. Evariste Galois consid猫re les sym茅tries de ces racines et associe ainsi 脿 ce polyn么me un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il d茅gage 脿 cette occasion pour la premi猫re fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omnipr茅sente en math茅matiques. Son 茅tude lui permet d'expliquer pourquoi les racines d'une 茅quation prise au hasard ne s'expriment en g茅n茅ral pas par des formules alg茅briques faisant intervenir ses coefficients 脿 partir du degr茅 5, un r茅sultat d茅montr茅 auparavant par Abel. Plus g茅n茅ralement, l'茅tude du groupe de Galois du polyn么me permet de dire exactement quand une telle formule existe. C'est ce que l'on appelle la correspondance de Galois : elle relie d'une part la th茅orie des corps, d'autre part la th茅orie des groupes.Ce cours expliquera cette th茅orie en n'utilisant que des r茅sultats de base d'alg猫bre lin茅aire. Nous 茅tudierons d'un c么t茅 la th茅orie des corps, c'est-脿-dire la fa莽on dont les corps s'embo卯tent les uns dans les autres, en introduisant la notion de nombre alg茅brique (essentiellement les racines de polyn么mes). D'un autre c么t茅, nous introduirons les 茅l茅ments n茅cessaires 脿 l'茅tude des groupes de permutations. Cela nous permettra d'expliquer la th茅orie de Galois, non seulement dans son cadre d'origine, c'est-脿-dire quand les coefficients du polyn么me sont des nombres entiers, mais aussi dans un cadre plus g茅n茅ral, par exemple lorsqu'on r茅duit ces coefficients modulo un nombre premier p. Le cours culminera avec une comparaison des groupes de Galois dans ces deux situations (芦 enti猫re 禄 et apr猫s r茅duction modulo p), fournissant ainsi un outil de calcul puissant de ces groupes. Ce cours est l'occasion d'aborder des notions d'alg猫bre vari茅es, essentielles dans de nombreux domaines des math茅matiques, de mani猫re tr猫s simple pour tr猫s rapidement aboutir 脿 des r茅sultats tout 脿 fait remarquables. Nous n'avons pas cherch茅 la g茅n茅ralit茅 maximale mais au contraire 脿 aller rapidement 脿 l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur int茅ress茅 sera alors arm茅 pour aller plus loin, notamment gr芒ce 脿 la bibliographie ou 脿 des cours plus avanc茅s.
