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Wie k枚nnen wir sicher sein, dass ein Objekt mit bestimmten Anforderungen existiert? Eine M枚glichkeit, dies zu zeigen, besteht darin, alle Objekte durchzugehen und zu pr眉fen, ob mindestens eines von ihnen die Anforderungen erf眉llt. In vielen F盲llen ist der Suchraum jedoch riesig. Ein Computer kann zwar helfen, aber eine Argumentation, die den Suchraum eingrenzt, ist sowohl 蹿眉谤 die Computersuche als auch 蹿眉谤 die Arbeit mit blo脽en H盲nden wichtig. In diesem Modul lernen wir verschiedene Techniken kennen, um zu zeigen, dass ein Objekt existiert und dass ein Objekt unter allen anderen Objekten optimal ist. Wie 眉blich werden wir das L枚sen vieler interaktiver R盲tsel 眉ben. Wir werden auch einige Computerprogramme zeigen, die uns helfen, ein Beispiel zu konstruieren.

Wir werden zwei leistungsstarke Methoden zur Definition von Objekten, zum Nachweis von Konzepten und zur Implementierung von Programmen kennenlernen - Rekursion und Induktion. Diese beiden Methoden werden in der diskreten Mathematik und der Informatik h盲ufig verwendet. Insbesondere werden Sie sie h盲ufig in Algorithmen finden - zur Analyse der Korrektheit und Laufzeit von Algorithmen sowie zur Implementierung effizienter L枚sungen. F眉r einige Berechnungsprobleme (z.B. die Erforschung von Netzwerken) sind rekursive L枚sungen die nat眉rlichsten. Die Hauptidee von Rekursion und Induktion besteht darin, ein gegebenes Problem in kleinere Probleme desselben Typs zu zerlegen. Die F盲higkeit, solche Zerlegungen zu erkennen, ist eine wichtige F盲higkeit sowohl in der Mathematik als auch in der Programmierung. Wir werden diese F盲higkeit verfeinern, indem wir gemeinsam verschiedene Probleme l枚sen.

Die mathematische Logik spielt eine entscheidende und unverzichtbare Rolle bei der Erstellung 眉berzeugender Argumente. Wir verwenden die Regeln und die Sprache der mathematischen Logik beim Schreiben von Code, beim 脺berlegen und Treffen von Entscheidungen und bei der Verwendung von Computerprogrammen. Diese Woche lernen wir die Grundlagen der mathematischen Logik kennen und 眉ben knifflige und scheinbar kontraintuitive, aber dennoch logische Aspekte der mathematischen Logik. Dies wird uns helfen, lesbaren und pr盲zisen Code zu schreiben und unsere Gedanken streng und pr盲zise zu formulieren.

"Es gibt Dinge, die sich nie 盲ndern". Dieser Satz ist nicht nur eine philosophische Aussage, sondern erweist sich auch als wichtige Idee in der diskreten Mathematik und der Computerwissenschaft. Eine Eigenschaft, die w盲hrend eines Prozesses erhalten bleibt, nennt man eine Invariante. Invarianten werden h盲ufig bei der Analyse des Verhaltens von Algorithmen, Programmen und anderen Prozessen verwendet. Die F盲higkeit, die richtige Invariante zu finden, ist eine wichtige F盲higkeit, die wir in diesem Modul gemeinsam entwickeln werden.

In diesem Modul betrachten wir ein bekanntes 15er-Puzzle, bei dem man die Ordnung zwischen 15 quadratischen Teilen in einem quadratischen Kasten wiederherstellen muss. Es stellt sich heraus, dass das Verhalten dieses R盲tsels durch die Mathematik bestimmt wird: Es ist l枚sbar, wenn und nur wenn die entsprechende Permutation gerade ist. Um zu verstehen, was dies bedeutet und warum es wahr ist, werden wir die grundlegenden Eigenschaften von geraden und ungeraden Permutationen kennen lernen - ein wichtiger Begriff in der Algebra und der diskreten Mathematik. Gemeinsam werden wir eine Reihe von einfachen Methoden 蹿眉谤 die Arbeit mit Permutationen anwenden. Sie werden diese dann als Bausteine verwenden, um ein Programm zu implementieren, das jede beliebige Konfiguration dieses Spiels in einem Wimpernschlag l枚st!